Question

19．已知由实数组成的等比数列{a_n}的前项和为S_n，且满足8a₄=a₇，S₇=254．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）对n∈N^*，b_n=$\frac{2n+1}{（log{{\;}_{2}a}_{n}）^{2}•（log{{\;}_{2}a}_{n+1}）^{2}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q，由8a₄=a₇，可得8=$\frac{{a}_{7}}{{a}_{4}}$=q³，解得q．由S₇=254，$\frac{{a}_{1}（{2}^{7}-1）}{2-1}$=254，解得a₁．
（2）b_n=$\frac{2n+1}{（log{{\;}_{2}a}_{n}）^{2}•（log{{\;}_{2}a}_{n+1}）^{2}}$=$\frac{2n+1}{{n}^{2}（n+1）^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
由8a₄=a₇，可得8=$\frac{{a}_{7}}{{a}_{4}}$=q³，解得q=2．
∵S₇=254，∴$\frac{{a}_{1}（{2}^{7}-1）}{2-1}$=254，解得a₁=2．
∴a_n=2ⁿ．
（2）b_n=$\frac{2n+1}{（log{{\;}_{2}a}_{n}）^{2}•（log{{\;}_{2}a}_{n+1}）^{2}}$=$\frac{2n+1}{{n}^{2}（n+1）^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}$，
∴T_n=$（1-\frac{1}{{2}^{2}}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}}-\frac{1}{{3}^{2}}）$+…+$（\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}）$=1-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”方法、对数函数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．