Question

17．已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²a_n（n≥2），而a₁=1，通过计算a₂，a₃，猜想a_n等于（　　）

• A． $\frac{2}{{{{（n+1）}^2}}}$
• B． $\frac{2}{n（n+1）}$
• C． $\frac{1}{{{2^n}-1}}$
• D． $\frac{1}{2n-1}$

Answer 1

分析 利用数列﹛a_n﹜的前n项和 S_n=n²a_n（n≥2），a₁=1，代入即可计算a₂，a₃，从而可以猜想a_n．

解答 解：（1）∵S_n=n²a_n，∴a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）²a_n+1-n²a_n
∴a_n+1=$\frac{n}{n+2}$a_n，
∴a₂=$\frac{1}{1+2}$=$\frac{1}{3}$，
a₃=$\frac{2}{2+2}$•$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，
猜测；a_n=$\frac{2}{n（n+1）}$，
故选：B

点评 本题以数列为载体，考查归纳推理，解题的关键是根据条件，求出前几项，并发现其规律．