Question

2．已知正三棱锥P-ABC中所有顶点都在球O表面上，PA，PB，PC两两互相垂直，若三棱锥P-ABC体积是$\frac{4}{3}$，则球O的表面积是12π．

Answer 1

分析 由V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×PA×PB×PC$=$\frac{4}{3}$，得PA=PB=PC=2
正三棱锥P-ABC的外接球，就是以PA为棱长的正方体的外接球，故球的半径为R=$\frac{1}{2}×\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{3}$即可求得球O的表面积．

解答 解：正三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，三棱锥P-ABC体积是$\frac{4}{3}$，则V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×PA×PB×PC$=$\frac{4}{3}$，
∵PA=PB=PC，∴PA=PB=PC=2，
正三棱锥P-ABC的外接球，就是以PA为棱长的正方体的外接球，故球的半径为R=$\frac{1}{2}×\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{3}$，
∴球O的表面积s=4πR²=12π，
故答案为：12π．

点评 本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．