Question

5．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，P是A₁C₁上任意一点，记平面PAB、平面PBC与下底面所成的二面角分别为α，β，则tan（α+β）的最小值为-$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 连P作PO⊥底面ABCD，过O分别作OM⊥AB，ON⊥BC，则∠PMO=α，∠PNO=β，由此利用二次函数性质能求出能求出tan（α+β）的最小值．

解答 解：连P作PO⊥底面ABCD，过O分别作OM⊥AB，ON⊥BC，
则∠PMO=α，∠PNO=β，
∵PO=1，∴tan$α=\frac{1}{OM}$，tanβ=$\frac{1}{ON}$，
∴tan（α+β）=$\frac{\frac{1}{OM}+\frac{1}{ON}}{1-\frac{1}{OM}•\frac{1}{ON}}$=$\frac{OM+ON}{OM•ON-1}$，
设OA=x，0＜x＜$\sqrt{2}$，
则tan（α+β）=$\frac{OM+ON}{OM•ON-1}$
=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}（\sqrt{2}-x）}{\frac{\sqrt{2}}{2}x•\frac{\sqrt{2}}{2}（\sqrt{2}-x）-1}$
=$\frac{1}{\frac{1}{2}x（\sqrt{2}-x）-1}$=$\frac{1}{-\frac{1}{2}（{x}^{2}-\sqrt{2}x）-1}$
=$\frac{1}{-\frac{1}{2}（x-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}-\frac{3}{4}}$$≥-\frac{4}{3}$．
∴tan（α+β）的最小值为-$\frac{4}{3}$．
故答案为：-$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查两个面面角和的正切值的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．