题目内容
14．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F的直线l与C相交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，若|AB|=6，则|FM|的长为（ ）| A． | $\sqrt{2}$ | B． | $\sqrt{3}$ | C． | 2 | D． | 3 |
分析 先根据抛物线方程求出p的值，再由抛物线的性质求出AB的垂直平分线方程，可得到答案．
解答 解：∵抛物线y2=4x，∴p=2，
设经过点F的直线y=k（x-1）与抛物线相交于A、B两点，A（x1，y1），B（x2，y2），
直线y=k（x-1）代入y2=4x，整理可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
∴x1+x2=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$
利用抛物线定义，AB中点横坐标为x1+x2=|AB|-p=6-2=4．AB中点横坐标为2
∴2+$\frac{4}{{k}^{2}}$=4，∴k=±$\sqrt{2}$
AB中点纵坐标为k，AB的垂直平分线方程为y-k=-$\frac{1}{k}$（x-2），
令y=0，可得x=4，
∴|FM|=3．
故选：D．
点评 本题主要考查了抛物线的性质．属中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用，确定AB的垂直平分线方程是关键．
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| A． | （-2，3） | B． | [-2，3） | C． | （-2，3] | D． | [-2，3] |
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| A． | $\frac{{3\sqrt{6}}}{5}$ | B． | $\frac{{5\sqrt{6}}}{6}$ | C． | $\frac{6}{5}$ | D． | $\frac{5}{6}$ |