Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a²-b²-c²+bc=0．
（1）求∠A的大小；
（2）设

c

b

=

1

2

+

3

，求tanB的值．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用余弦定理表示出cosA，把已知等式变形后代入求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（2）利用正弦定理化简已知等式左边，把C=120°-B代入，利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间基本关系变形，即可求出tanA的值．

解答： 解：（1）∵△ABC中，a²-b²-c²+bc=0，即b²+c²-a²=bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
则∠A=60°；
（2）由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

得：

c

b

=

sinC

sinB

=

sin(120°-B)

sinB

=

1

2

+

3

，
整理得：

3 2 cosB+ 1 2 sinB

sinB

=

3 2 + 1 2 tanB

tanB

=

1

2

+

3

，
解得：tanB=

1

2

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．