Question

7．在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，B为锐角，且cosA=$\frac{2}{5}\sqrt{5}$，sinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
（1）求内角C的值；
（2）若a-b=2-$\sqrt{2}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）由cosA=$\frac{2}{5}\sqrt{5}$，A∈（0，π），可得sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$．由于B为锐角，sinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，可得cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$．可得cosC=-cos（A+B）=-（cosAcosB-sinAsinB）．
（2）：由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，可得$\frac{a-b}{sinA-sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，代入解得c，即可得出a，b．

解答 解：（1）∵cosA=$\frac{2}{5}\sqrt{5}$，A∈（0，π），∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵B为锐角，sinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，∴cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
∴cosC=-cos（A+B）=-（cosAcosB-sinAsinB）=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}×\frac{3\sqrt{10}}{10}$+$\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{10}}{10}$=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵C∈（0，π），∴C=$\frac{3π}{4}$．
（2）解：由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴$\frac{a-b}{sinA-sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，∴$\frac{2-\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{5}}{5}-\frac{\sqrt{10}}{10}}$=$\frac{c}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，解得c=$\sqrt{10}$，
∴$a=\frac{csinA}{sinC}$=$\frac{\sqrt{10}×\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2，
同理可得：b=$\sqrt{2}$．
∴△ABC的周长=a+b+c=2+$\sqrt{2}$+$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了正弦定理、和差公式、三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．