Question

8．已知等边三角形的一个顶点位于抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（4±2$\sqrt{3}$）p．

Answer 1

分析 运用抛物线关于x轴对称，结合题意可设顶点A（$\frac{{m}^{2}}{2p}$，m），B（$\frac{{m}^{2}}{2p}$，-m），求得抛物线的焦点F，等边三角形的边长和高，由等边三角形的性质，可得m的方程，解方程可得边长．

解答 解：由抛物线y²=2px关于x轴对称，
设等边三角形的一个顶点C位于抛物线的焦点F，另外两个顶点A，B在抛物线上，
则A，B点关于x轴对称，
可设A（$\frac{{m}^{2}}{2p}$，m），B（$\frac{{m}^{2}}{2p}$，-m），
抛物线y²=2px的焦点F（$\frac{p}{2}$，0），
可得等边三角形ABC的边长为2|m|，高为|$\frac{p}{2}$-$\frac{{m}^{2}}{2p}$|，
由|$\frac{p}{2}$-$\frac{{m}^{2}}{2p}$|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2|m|，
解方程可得|m|=（2±$\sqrt{3}$）p，
则等边三角形的边长为（4±2$\sqrt{3}$）p．
故答案为：（4±2$\sqrt{3}$）p．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，注意运用对称性，同时考查等边三角形的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．