Question

7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BA，CD的延长线相交于点E，EF∥DA，并与CB的延长线交于点F，FG切⊙O于G．
（1）求证：BE•EF=CE•BF；
（2）求证：FE=FG．

Answer 1

分析 （1）圆的内接四边形的性质，平行线的性质，判断△CFE∽△EFB，线段对应成比例，从而证得式子成立．
（2）根据 CFE∽△EFB，可得BE•EF=CF•BF，在根据圆的切线性质可得 FC²=FB•FC，从而证得结论成立．

解答 证明（1）∵EF∥DA，∴∠DAE=∠AEF，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DAE=∠C，∴∠C=∠AEF，
又∠CFE=∠EFB，∴△CFE∽△EFB，∴$\frac{EF}{BF}$=$\frac{CE}{BE}$，∴BE•EF=CF•BF．
（2）∵CFE∽△EFB，∴$\frac{EF}{FC}$=$\frac{EB}{EF}$，∴EF•EF=FB•FC，
∵FG切⊙O于G，∴FC²=FB•FC，∴EF•EF=FG²，∴FG=FE．

点评 本题主要考查与圆有关的比例线段，圆的内接四边形的性质，三角形相似的判定与性质，属于中档题．