Question

11．已知抛物线C：y²=-2px（p＞0）的焦点为F，在抛物线C上存在点M，使得点F关于M的对称点为M'（$\frac{2}{5}$，$\frac{8}{5}$），且|MF|=1．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线MF与抛物线C的另一个交点为N，且以MN为直径的圆恰好经过y轴上一点P，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据对称关系求出M点坐标代入抛物线方程即可得出p；
（2）求出直线MN的方程，联立方程组解出N点坐标，得出圆的方程，从而得出P点坐标．

解答 解：（1）抛物线的焦点坐标为F（-$\frac{p}{2}$，0），
设M（x₀，y₀），∵F和M′关于M对称，∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{1}{5}-\frac{p}{4}}\\{{y}_{0}=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$．
代入抛物线方程得25p²-20p-32=0．解得p=$\frac{8}{5}$或p=-$\frac{4}{5}$（舍）．
∴抛物线方程为：y²=-$\frac{16}{5}$x．
（2）由（1）知M（-$\frac{1}{5}$，$\frac{4}{5}$），F（-$\frac{4}{5}$，0）．
∴直线MF的方程为$\frac{y}{\frac{4}{5}}=\frac{x+\frac{4}{5}}{-\frac{1}{5}+\frac{4}{5}}$，即y=$\frac{4}{3}x+\frac{16}{15}$．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x+\frac{16}{15}}\\{{y}^{2}=-\frac{16}{5}x}\end{array}\right.$，消元得：25y²+60y-64=0．
∴N（-$\frac{16}{5}$，-$\frac{16}{5}$）．
∴MN的中点坐标为（-$\frac{17}{10}$，-$\frac{6}{5}$）．|MN|=$\sqrt{（-\frac{1}{5}+\frac{16}{5}）^{2}+（\frac{4}{5}+\frac{16}{5}）^{2}}$=5．
∴以MN为直径的圆的方程为（x+$\frac{17}{10}$）²+（y+$\frac{6}{5}$）²=$\frac{25}{4}$．
令x=0得y=-$\frac{6}{5}$±$\frac{2\sqrt{21}}{5}$．
∴P点坐标为（0，-$\frac{6+2\sqrt{21}}{5}$）或（0，-$\frac{6-2\sqrt{21}}{5}$）．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．