Question

2．已知函数f（x）=x-lnx+k，在区间[$\frac{1}{e}$，e]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则k的取值范围是（　　）

• A． （-1，+∞）
• B． （-∞，-1）
• C． （-∞，e-3）
• D． （e-3，+∞）

Answer 1

分析 由条件可得2f（x）_min＞f（x）_max且f（x）_min＞0，再利用导数求得函数的最值，从而得出结论．

解答 解：任取三个实数a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，
等价于f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，可转化为2f（x）_min＞f（x）_max且f（x）_min＞0．
令$f'（x）=-\frac{1}{x}+1=\frac{x-1}{x}=0$得x=1．
当$\frac{1}{e}＜x＜1$时，f'（x）＜0；
当1＜x＜e时，f'（x）＞0；
则当x=1时，f（x）_min=f（1）=1+k，$f{（x）_{max}}=max\{f（\frac{1}{e}），f（e）\}$=max{$\frac{1}{e}$+1+k，e-1+k}=e-1+k，
从而可得$\left\{\begin{array}{l}{2（1+k）＞e-1+k}\\{k+1＞0}\end{array}\right.$，解得k＞e-3，
故选：D．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的恒成立问题，求函数的导数，利用函数单调性和最值之间的关系转化为求函数的最值是解决本题的关键．