Question

已知命题P：方程

x2

m

+y²=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题Q：直线y=x-1与抛物线y=mx²有两个交点．
（1）若命题Q为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：推理和证明

分析：先对两个命题分别化简，求出命题P与Q对应的m的取值范围．

解答： 解：命题P：方程

x2

m

+y²=1表示焦点在y轴上的椭圆?0＜m＜1．
（1）若命题Q：直线y=x-1与抛物线y=mx²有两个交点?mx²=x-1有两个交点
?mx²-x+1=0有两个不同实根，得

m≠0 1-4m＞0

，∴m＜

1

4

且m≠0，
故m的取值范围是（-∞，0）∪（0，

1

4

）
（2）若命题P与Q中有且仅有一个为真命题，则P真Q假或P假Q真
若P真Q假，得

1

4

≤m＜1；若P假Q真，得m＜0．
故m的取值范围是（-∞，0）∪[

1

4

，1）

点评：本题以圆锥曲线与直线为载体考查了命题的真假，属于基础题．