Question

【题目】如图，设点是抛物线的焦点，直线与抛物线相切于点（点位于第一象限），并与抛物线的准线相交于点．过点且与直线垂直的直线交抛物线于另一点，交轴于点，连结．

（1）证明：为等腰三角形；

（2）求面积的最小值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）4

【解析】

（1）利用导数求出点P处的切线方程，由垂直关系写出法线方程，得到点Q坐标，由抛物线定义得到；

（2）先求出点A，B的坐标，再求与的表达式，利用直角三角形得到面积的函数关系，再求最大值．

（1）设点P的坐标为且，

因为直线l与抛物线C相切，求导得，即，

所以直线l的方程为：，

得直线m的方程为：，即，

因为，即，

而，

所以得，即为等腰三角形．

（或者求出切线与y轴的交点，可证点F为直角三角形斜边的中点，同样可证）

（2）因为抛物线C的准线为，得，

所以，

联立方程组，得，

因为，，即，

所以，

得面积为，

当且仅当时，取到最小值4．