Question

【题目】设数列（）的各项均为正整数，且.若对任意，存在正整数使得，则称数列具有性质.

（1）判断数列与数列是否具有性质；（只需写出结论）

（2）若数列具有性质，且，，，求的最小值；

（3）若集合，且（任意，）.求证：存在，使得从中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质的数列.

Answer 1

【答案】（1）数列不具有性质；数列具有性质（2）的最小值为（3）证明见解析

【解析】

（1）不满足存在正整数使得，故数列不具有性质；根据定义可知数列具有性质；

（2）由题可知，，，，，所以，再验证可知时，数列不具有性质，时，数列具有性质，从而可知的最小值为；

（3）反证法：假设结论不成立，即对任意都有：若正整数，则，再根据定义推出矛盾，从而可证结论正确.

（1）数列不具有性质；数列具有性质.

（2）由题可知，，，，，

所以.

若，因为且，所以.

同理，

因为数列各项均为正整数，所以.所以数列前三项为.

因为数列具有性质，只可能为之一，而又因为，

所以.

同理，有.

此时数列为.

但数列中不存在使得，所以该数列不具有性质.

所以.

当时，取.（构造数列不唯一）

经验证，此数列具有性质.

所以，的最小值为.

（3）反证法：假设结论不成立，即对任意都有：若正整数，则.

否则，存在满足：存在，使得，此时，从中取出：

当时，是一个具有性质的数列；

当时，是一个具有性质的数列；

当时，是一个具有性质的数列.

（i）由题意可知，这个集合中至少有一个集合的元素个数不少于个，

不妨设此集合为，从中取出个数，记为，且.

令集合.

由假设，对任意，，所以.

（ii）在中至少有一个集合包含中的至少个元素，不妨设这个集合为，

从中取出个数，记为，且.

令集合.

由假设.对任意，存在使得.

所以对任意，，

由假设，所以，所以，所以.

（iii）在中至少有一个集合包含中的至少个元素，不妨设这个集合为，

从中取出个数，记为，且.

令集合.

由假设.对任意，存在使得.

所以对任意，，

同样，由假设可得，所以，所以.

（iv）类似地，在中至少有一个集合包含中的至少个元素，不妨设这个集合为，

从中取出个数，记为，且，

则.

（v）同样，在中至少有一个集合包含中的至少个元素，不妨设这个集合为，

从中取出个数，记为，且，同理可得.

（vi）由假设可得.

同上可知，，

而又因为，所以，矛盾.所以假设不成立.

所以原命题得证.