题目内容
【题目】如图,矩形中,
,
,
为
的中点,点
,
分别在线段
,
上运动(其中
不与
,
重合,
不与
,
重合),且
,沿
将
折起,得到三棱锥
,则三棱锥
体积的最大值为__________;当三棱锥
体积最大时,其外接球的表面积的值为_______________.
【答案】
【解析】
(1)依题意设,则
,利用椎体体积公式列式,再根据二次函数顶点式和正弦函数的取值范围得出最大值.
(2)依题意建立如图空间直角坐标系,列出各点的坐标,设球心坐标, 根据球心到各点距离等半径求球心坐标,即可得出半径,最后求出三棱锥的外接球面积.
解:依题意设,
则,
因为,所以
,
与平面
所成角为
当,
时三棱锥
体积取得最大值.
所以三棱锥体积的最大值为
.
故答案为:
(2)由(1)知道三棱锥体积取得最大值时,
与平面
所成角
,即
平面
,
折起如图所示:依题意可建立如图所示空间直角坐标系:
所以,
,
,
设三棱锥外接球的球心为
解,所以
外接球面积为.
故答案为:
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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