Question

已知函数f（x）=x²+bx为偶函数，数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n-1）+1，且a₁=3，a_n＞1．
（Ⅰ）设b_n=log₂（a_n-1），证明：数列{b_n+1}为等比数列；
（Ⅱ）设c_n=n（2b_n-1），求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用函数f（x）=x²+bx为偶函数，可得b，根据数列{a_n}满足a_n+1=2f（a_n-1）+1，可得b_n+1+1=2（b_n+1），即可证明数列{b_n+1}为等比数列；
（2）由c_n=n（2b_n-1）=2n•2ⁿ-3n，利用错位相减可求数列的和．

解答： （Ⅰ）证明：∵函数f（x）=x²+bx为偶函数，
∴f（-x）=f（x），∴b=0
∵a_n+1=2f（a_n-1）+1，
∴a_n+1-1=2（a_n-1）²，
∵b_n=log₂（a_n-1），
∴b_n+1=1+2b_n，
∴b_n+1+1=2（b_n+1）
∴数列{b_n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，b_n+1=2ⁿ，
∴b_n=2ⁿ-1，
∴c_n=n（2b_n-1）=2n•2ⁿ-3n，
∴S_n=2×（1•2+2•2²+…+n•2ⁿ）-

3n(n+1)

2

，
∴令T=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ，
2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
两式相减可得，-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4-

3n(n+1)

2

．

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项公式，错位相减求数列的和的应用是求解的关键．