Question

A、B是抛物线y²=4x上的两点，且满足OA⊥OB（O为原点），求证：直线AB过一个定点．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：证明题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设直线AB方程为x=my+b，将直线AB方程代入抛物线方程y²=4x，得y²-4my-4b=0，利用韦达定理，结合直线垂直的条件，能够证明直线AB过定点M（4，0）．

解答： 解：设直线AB方程为x=my+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线AB方程代入抛物线方程y²=4x，
得y²-4my-4b=0，
则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4b，
∵OA⊥OB，∴k_OA•k_OB=

y1y2

x1x2

=

16

y1y2

=-

4

b

=-1，b=4．
于是直线AB方程为x=my+4，该直线过定点（4，0）．

点评：本题考查直线过定点的证明，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．