Question

已知|M₁M₂|=2，点M与两定点M₁，M₂距离的比值是一个正数m．
（1）试建立适当坐标系，求点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么图形；
（2）求当m=2时，点M的轨迹与以M₁M₂为直径的圆的公共点所在的直线方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆的位置关系

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）以线段M₁M₂的中点为原点，直线M₁M₂为x轴建立直角坐标系，利用点M与两定点M₁，M₂距离的比值是一个正数m，建立方程，即可得出结论；
（2）求出当m=2时，点M的轨迹与以M₁M₂为直径的圆的方程，即可求出公共点所在的直线方程．

解答： 解：（1）以线段M₁M₂的中点为原点，直线M₁M₂为x轴建立直角坐标系．
设M₁（-1，0），M₂（1，0），M（x，y）由已知得：

(x+1)2+y2

=m

(x-1)2+y2

，（m＞0）
化简得：（m²-1）x²+（m²-1）y²-2（m²+1）x+m²-1=0…（4分）
当m=1时，点M在线段M₁M₂的垂直平分线上，方程为x=0，即y轴；
当m≠1时，配方得：(x-

m2+1

m2-1

)2+y2=

4m2

(m2-1)2

表示圆心在(

m2+1

m2-1

，0)半径为

2m

|m2-1|

的圆．    
（2）当m=2时，点M的轨迹方程为3x²+3y²-10x+3=0，
以M₁M₂为直径的圆的方程为x²+y²=1，
∴点M的轨迹与以M₁M₂为直径的圆的公共点所在的直线方程为x=

3

5

．

点评：本题考查轨迹方程，考查圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．