Question

11．若直线y=x+b与曲线x=$\sqrt{1-{y^2}}$恰有一个公共点，则b的取值范围是（　　）

• A． $[{-\sqrt{2}，\sqrt{2}}]$
• B． $[{-1，\sqrt{2}}]$
• C． $（-1，1]∪\{\sqrt{2}\}$
• D． $（-1，1]∪\{-\sqrt{2}\}$

Answer 1

分析 曲线x=$\sqrt{1-{y^2}}$即 x²+y²=1（x≥0）表示一个半径为1的半圆，如图，数形结合求得当直线y=x+b与曲线x=$\sqrt{1-{y^2}}$恰有一个公共点时b的取值范围．

解答 解：曲线x=$\sqrt{1-{y^2}}$即 x²+y²=1（x≥0）表示一个半径为1的半圆，如图所示．
当直线y=x+b经过点A（0，1）时，求得b=1，
当直线y=x+b经过点B（1，0）时，求得b=-1，
当直线和半圆相切于点D时，由圆心O到直线y=x+b的距离等于半径，
可得$\frac{|0-0+b|}{\sqrt{2}}$=1，求得b=-$\sqrt{2}$，或b=$\sqrt{2}$（舍去）．
故当直线y=x+b与曲线x=$\sqrt{1-{y^2}}$恰有一个公共点时b的取值范围是-1＜b≤1或b=-$\sqrt{2}$，
故选：D．

点评 本题主要考查了直线与圆相交的性质．对于此类问题除了用联立方程转化为方程的根的问题之外，也可用数形结合的方法较为直观，属于基础题．