Question

16．设函数f（x）=|x+1|+|x-1|，x∈R，不等式f（x）≤2$\sqrt{3}$的解集为M．
（1）求M；
（2）当a，b∈M时，证明：$\sqrt{3}$|a+b|≤|ab+3|．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值的意义求出不等式f（x）≤2$\sqrt{3}$的解集M．
（2）用分析法证明此不等式，分析使此不等式成立的充分条件为（a²-3）（3-b²）≤0，而由条件a，b∈M可得（a²-3）（3-b²）≤0成立，从而证得要证的不等式．

解答 解：（1）不等式即|x+1|+|x-1|≤2$\sqrt{3}$，
而|x+1|+|x-1|表示数轴上的x对应点到-1、1对应点的距离之和，
-$\sqrt{3}$和$\sqrt{3}$对应点到-1、1对应点的距离之和正好等于2$\sqrt{3}$，
故不等式的解集为M=[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]；
（2）要证$\sqrt{3}$|a+b|≤|ab+3|，只要证3（a+b）²≤（ab+3）²，
即证：3（a+b）²-（ab+3）²=3（a²+b²+2ab）-（a²•b²+6ab+9）
=3a²+3b²-a²•b²-9=（a²-3）（3-b²）≤0，
而由a，b∈M，可得-$\sqrt{3}$≤a≤$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$≤b≤$\sqrt{3}$，
∴a²-3≤0，3-b²≥0，
∴（a²-3）（3-b²）≤0成立，
故要证的不等式$\sqrt{3}$|a+b|≤|ab+3|成立．

点评 本题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式的解法，用分析法证明不等式，体现了转化的数学思想，属于中档题．