Question

17．已知函数f（x）=-x²+mx+1，（x∈R）
①求f（x）在[-1，1]上的最小值．
②对于函数y=g（x）在定义域内给定区间[a，b]，如果存在x₀（a＜x₀＜b）满足$g（{x_0}）=\frac{g（b）-g（a）}{b-a}$，则称函数g（x）是区间[a，b]上的“平均值函数”，x₀是它的一个“均值点”．如函数y=x²是[-1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．若函数f（x）是区间[-1，1]上的平均值函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对称轴与区间[-1，1]的关系讨论f（x）在[-1，1]上的单调性，利用单调性求出最小值；
（2）求出f（x）在（-1，1）上的值域A，令$\frac{f（1）-f（-1）}{2}$∈A即可．

解答 解：（1）f（x）=-x²+mx+1=-（x-$\frac{m}{2}$）²+$\frac{{m}^{2}}{4}$+1，f（x）的图象开口向下，对称轴是x=$\frac{m}{2}$，
若$\frac{m}{2}$≤-1，即m≤-2时，f（x）在[-1，1]上是减函数，∴f_min（x）=f（1）=m；
若$\frac{m}{2}$≥1，即m≥2时，f（x）在[-1，1]上是增函数，∴f_min（x）=f（-1）=-m；
若-1＜$\frac{m}{2}$≤0，即-2＜m≤0时，∴f_min（x）=f（1）=m；
若0＜$\frac{m}{2}$＜1，即0＜m＜2时，∴f_min（x）=f（-1）=-m；
综上，当m≤0时，f_min（x）=m；当m＞0时，f_min（x）=-m．
（2）∵函数f（x）是区间[-1，1]上的平均值函数，
∴存在x₀∈（-1，1）使得f（x₀）=$\frac{f（1）-f（-1）}{2}$=m；
由（1）可知
当m≤-2时，f（x）在[-1，1]上单调递减，f_max（x）=f（-1）=-m，f_min（x）=f（1）=m，
∴不存在x₀∈（-1，1）使得f（x₀）=m；
当m≥2时，f（x）在[-1，1]上单调递增，f_max（x）=f（1）=m，f_min（x）=f（-1）=-m，
∴不存在x₀∈（-1，1）使得f（x₀）=m；
当-2＜m≤0时，f_max（x）=f（$\frac{m}{2}$）=$\frac{{m}^{2}}{4}+1$，f_min（x）=f（1）=m，
∴不存在x₀∈（-1，1）使得f（x₀）=m；
当0＜m＜2时，f_min（x）=f（-1）=-m，f_max（x）=f（$\frac{m}{2}$）=$\frac{{m}^{2}}{4}+1$，
令-m＜m≤$\frac{{m}^{2}}{4}+1$ 解得0＜m＜2．
综上，实数m的取值范围是（0，2）．

点评 本题考查了二次函数的单调性、最值与对称轴的关系，对参数m进行分类讨论是解题的关键．