Question

5．判断下列方程在区间（$\frac{1}{2}$，8）上是否存在实数解，并说明理由．
（1）$\frac{2}{x}$+2x=0；
（2）log₂x+3x-2=0．

Answer 1

分析 （1）转化为一元二次方程进行求解判断．
（2）构造函数，利用函数零点的判断条件进行判断即可．

解答 解：（1）方程$\frac{2}{x}$+2x=0等价为2+2x²=0，即x²=-1，此时方程无解，故在区间（$\frac{1}{2}$，8）上是不存在实数解．
（2）设f（x）=log₂x+3x-2，则函数在（$\frac{1}{2}$，8）上为增函数，
则f（$\frac{1}{2}$）=log₂$\frac{1}{2}$+3×$\frac{1}{2}$-2=-1+$\frac{3}{2}$-2=-$\frac{3}{2}$＜0，
f（8）=log₂8+3×8-2=3+24-2=25＞0，
则函数在（$\frac{1}{2}$，8）上存在唯一的一个零点，即方程在（$\frac{1}{2}$，8）上存在实数解．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利条件转化为函数，结合函数零点的判断条件是解决本题的关键．