Question

10．设a，b，c为正实数，且a+b+c=1，证明：$\frac{1}{ab+2{c}^{2}+2c}$+$\frac{1}{bc+2{a}^{2}+2a}$+$\frac{1}{ca+2{b}^{2}+2b}$≥$\frac{1}{ab+bc+ca}$．

Answer 1

分析 首先证明$\frac{ab+bc+ca}{ab+2{c}^{2}+2c}$≥$\frac{ab}{ab+bc+ca}$，①展开后，由2abc（a+b+c）=2abc，由均值不等式可得b²c²+c²a²≥2abc²，可得；$\frac{ab+bc+ca}{bc+2{a}^{2}+2a}$≥$\frac{bc}{ab+bc+ca}$，②，$\frac{ab+bc+ca}{ca+2{b}^{2}+2b}$≥$\frac{ca}{ab+bc+ca}$，③，由累加法即可得证．

解答 证明：首先证明$\frac{ab+bc+ca}{ab+2{c}^{2}+2c}$≥$\frac{ab}{ab+bc+ca}$，①
事实上，上述不等式等价为
a²b²+b²c²+c²a²+2abc（a+b+c）≥a²b²+2abc²+2abc，
由已知可得2abc（a+b+c）=2abc，
由均值不等式可得b²c²+c²a²≥2abc²，
故上述不等式成立．
同理可得$\frac{ab+bc+ca}{bc+2{a}^{2}+2a}$≥$\frac{bc}{ab+bc+ca}$，②
$\frac{ab+bc+ca}{ca+2{b}^{2}+2b}$≥$\frac{ca}{ab+bc+ca}$，③
①+②+③，可得$\frac{ab+bc+ca}{ab+2{c}^{2}+2c}$+$\frac{ab+bc+ca}{bc+2{a}^{2}+2a}$+$\frac{ab+bc+ca}{ca+2{b}^{2}+2b}$≥1，
即有$\frac{1}{ab+2{c}^{2}+2c}$+$\frac{1}{bc+2{a}^{2}+2a}$+$\frac{1}{ca+2{b}^{2}+2b}$≥$\frac{1}{ab+bc+ca}$．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和累加法，考查推理能力，是难题．