Question

已知关于x的方程2x²-（2m+1）x+2m=0的两根为sinθ和cosθ（θ∈（0，π）），求：
（1）m的值；
（2）

sinθ

1-cotθ

+

cosθ

1-tanθ

的值；
（3）方程的两根及此时θ的值．

Answer 1

考点：根与系数的关系

专题：三角函数的求值

分析：（1）由于关于x的方程2x²-（2m+1）x+2m=0有两根，可得△≥0，解得m≥

3+2 2

2

或m≤

3-2 2

2

．（*）
由根与系数的关系可知，sin θ+cos θ=

2m+1

2

，sin θ•cos θ=m，即可解得m．
（2）利用（1）即可得出．
（3）利用（1）（2）即可得出．

解答： 解：（1）∵关于x的方程2x²-（2m+1）x+2m=0有两根，
∴△≥0，解得m≥

3+2 2

2

或m≤

3-2 2

2

．（*）
由根与系数的关系可知，sin θ+cos θ=

2m+1

2

①
sin θ•cos θ=m②
将①式平方得1+2sin θ•cos θ=

(2m+1)2

4

，
把sin θ•cos θ=m，代入②得1+2m=

(2m+1)2

4

，
化为（2m+1）（2m-3）=0，解得m=-

1

2

或

3

2

．
m=

3

2

不符合题意，应舍去．
∴m=-

1

2

．
（2）由m=-

1

2

，可得2x²-（2m+1）x+2m=0为x²=

1

2

．
∴x=±

2

2

．
∵θ∈（0，π），
∴sinθ=

2

2

，cosθ=-

2

2

．
∴θ=

3π

4

．
∴

sinθ

1-cotθ

+

cosθ

1-tanθ

=

2 2

1+1

+

2 2

1+1

=

2

2

；
（3）由（2）可知：sinθ=

2

2

，cosθ=-

2

2

．
∴θ=

3π

4

．

点评：本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、根与系数的关系、三角函数的化简，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．