Question

5．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面为直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=2，AB=BC=1．
（1）求证：CD⊥PC
（2）设M为PD的中点，证明：CM∥平面PAB
（3）若PA=1，求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值．

Answer 1

分析 （1）推导出AC⊥CD，PA⊥CD，从而CD⊥平面PAC，由此能证明CD⊥PC．
（2）取PA的中点N，连接BN、NM，推导出四边形BCMN为平行四边形，从而CM∥BN，由此能证明CM∥平面PAB．
（3）在平面ABCD中，AB与CD不平行，延长AB、CD交于一点，设为E，连接PE，则PE为侧面PAB与侧面PCD所成二面角的棱，过A作AF⊥PE于F，连接DF，则∠AFD为侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角，由此能求出侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值．

解答 证明：（1）由已知得AC=2   CD=2，
∵AC²+CD²=AD²，
∴∠ACD=90°，即AC⊥CD．
又∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD．∵PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC．∵PC?平面PAC，
∴CD⊥PC． （4分）
（2）取PA的中点N，连接BN、NM，在△PAD中，MN∥AD，且MN=1
又BC∥AD，且BC=1，所以MN∥BC，且MN=BC
即四边形BCMN为平行四边形，CM∥BN．
又CM?平面PAB，BN?平面PAB，故CM∥平面PAB．…（8分）
解：（3）在平面ABCD中，AB与CD不平行，延长AB、CD交于一点，设为E，
连接PE，则PE为侧面PAB与侧面PCD所成二面角的棱，
又由题设可知DA⊥侧面PAB，于是过A作AF⊥PE于F，
连接DF，可得DF⊥PE，
可知∠AFD为侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角．…（10分）
在△EAD中，由BC∥AD，BC=$\frac{1}{2}$AD
知B为AE为中点，∴AE=2，
在Rt△PAE中，PA=1，AE=2，∴PE=$\sqrt{5}$，AF=$\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，故tan∠AFD=$\sqrt{5}$，
∴侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值为$\sqrt{5}$．（14分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．