Question

9．已知点P（0，1）到双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为$\frac{1}{3}$，则双曲线C的离心率为3．

Answer 1

分析 求出双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式，计算可得c=3a，再由离心率公式可得所求值．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一条渐近线设为y=$\frac{b}{a}$x，即为bx-ay=0，
可得点P（0，1）到渐近线的距离为$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{1}{3}$，
即有3a=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=c，
可得e=$\frac{c}{a}$=3．
故答案为：3．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程以及点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．