Question

19．已知等差数列{a_n}中，a₁=-2，公差d=3；数列{b_n}中，S_n为其前n项和，满足${2^n}{S_n}+1={2^n}$（n∈N⁺）．
（1）记${c_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n；
（2）求证：数列{b_n}是等比数列．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列{a_n}的首项与公差确定出通项公式，进而确定出c_n的通项公式，求出数列{c_n}的前n项和T_n即可；
（2）根据2ⁿS_n+1=2ⁿ，确定出S_n与S_n-1，由b_n=S_n-S_n-1，利用等比数列的性质判断即可．

解答 （1）解：∵a₁=-2，d=3，
∴a_n=a₁+（n-1）×d=-2+3（n-1）=3n-5，
∴c_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-5）（3n-2）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-5}$-$\frac{1}{3n-2}$），
则T_n=$\frac{1}{3}$（-$\frac{1}{2}$-1+1-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{3n-5}$-$\frac{1}{3n-2}$）=-$\frac{n}{2（3n-2）}$；
（2）证明：∵2ⁿS_n+1=2ⁿ，∴S_n=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，S_n-1=1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$（n≥2的正整数），
∴b_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$）^n-1（n≥2的正整数），
当n=1，b₁=S₁=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，满足上述通项公式，
则数列{b_n}是以b₁=$\frac{1}{2}$为首项，q=$\frac{1}{2}$为公比的等比数列．

点评 此题考查了数列的求和，等比数列的通项公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．