Question

6．已知数列{a_n}是等比数列，若${a_2}=1，{a_5}=\frac{1}{8}$，则${a_1}{a_2}+{a_2}{a_3}+…+{a_n}{a_{n+1}}（{n∈{N^*}}）$的取值范围是（　　）

• A． $（{\frac{2}{3}，2}]$
• B． $[{1，\frac{8}{3}}）$
• C． $[{2，\frac{8}{3}}）$
• D． $（{-∞，\frac{8}{3}}）$

Answer 1

分析 利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．

解答 解：由已知得数列{a_n}的公比满足q³=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{8}$，解得q=$\frac{1}{2}$，
∴a₁=2，a₃=$\frac{1}{2}$，
故数列{a_na_n+1}是以2为首项，公比为$\frac{{a}_{2}{a}_{3}}{{a}_{1}{a}_{2}}$=$\frac{1}{4}$的等比数列，
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=$\frac{2[1-（\frac{1}{4}）^{n}]}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{8}{3}$$[1-（\frac{1}{4}）^{n}]$∈$[2，\frac{8}{3}）$，
故选：C．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．