Question

16．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n与2的等差中项，等差数列{b_n}中，b₁=2，点P（b_n，b_n+1}在一次函数y=x+2的图象上．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n和b_n；
（2）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系与等比数列的通项公式可得a_n，再利用等差数列的通项公式可得b_n．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）由2a_n=S_n+2得：2a₁=S₁+2；即2a₁=a₁+2，解得a₁=2．
同理可得：2a₂=S₂+2；2a₁=a₁+a₂+2，解得a₂=4；
由2a_n=S_n+2┅①得2a_n-1=S_n-1+2┅②；（n≥2）
将两式相减得：2a_n-2a_n-1=S_n-S_n-1；2a_n-2a_n-1=a_n；a_n=2a_n-1（n≥2）
所以：当n≥2时：a_n=${a}_{2}{2}^{n-2}$=2ⁿ；n=1时也成立．
故：a_n=2ⁿ；
又由等差数列{b_n}中，b₁=2，点P（b_n，b_n+1）在直线y=x+2上．
得：b_n+1=b_n+2，且b₁=2，所以：b_n=2+2（n-1）=2n；           （6分）
（2）${c_n}={a_n}{b_n}=n{2^{n+1}}$；
数列{c_n}的前n项和T_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，
2T_n=2³+2×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²，
∴-T_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺²，
可得：T_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4．    （12分）

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．