题目内容

若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足
CM
=
1
3
CB
+
1
2
CA
，求
MA
•
MB
．
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：先利用向量的运算法则将
MA
，
MB
，分别用等边三角形的边对应的向量表示，利用向量的运算法则展开，据三角形的边长及边边的夹角已知，求出两个向量的数量积．
解答： 解：由题意可得
CA
•
CB
=|
CA
||
CB
|cos60°=2×2×
1
2
=2，
CA
2=
CB
2=4，
∵
CM
=
1
3
CB
+
1
2
CA
，
∴
MA
=
CA
-
CM
=
CA
-（
1
3
CB
+
1
2
CA
）=
1
2
CA
-
1
3
CB
，
MB
=
CB
-
CM
=
CB
-（
1
3
CB
+
1
2
CA
）=
2
3
CB
-
1
2
CA
，
∴
MA
•
MB
=（
1
2
CA
-
1
3
CB
）•（
2
3
CB
-
1
2
CA
）
=
1
2
CA
•
CB
-
1
4
CA
2-
2
9
CB
2
=
1
2
×2-
1
4
×4-
2
9
×4
=-
8
9
点评：本试题考查了向量的数量积的基本运算．考查了基本知识的综合运用能力．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=9．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=an2an求数列{bn}前n项和．
在直角坐标系xOy中，过点P（1，2）作倾斜角为45°的直线l与曲线C：x2+y2=1相交于不同的两点M，N．
（Ⅰ）写出直线l的参数方程；
（Ⅱ）求
1
|PM|
+
1
|PN|
的值．
已知|
a
|=1，|
b
|=2，
a
与
b
的夹角为60°，求：
（1）
a
在
b
方向上的投影；
（2）
c
=λ
a
+
b
与
d
=
a
+2
b
的夹角为锐角，求λ的取值范围．
解不等式：x4+x3-x-1≤0．
已知
a
=（1+cosx，1），
b
=（1+sinx，m）．
（1）若m=1，且
a
∥
b
时，求x的值；
（2）记f（x）=
a
•
b
，若f（x）＞0对任意的x∈R恒成立，求m的取值范围．
如图，已知底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，△ABC是边长为2的正三角形，AP=BP=
2
2
PC=
2
，且N为线段AC的中点，M为侧棱PB的中点，
（1）求证：NM∥平面PAD；
（2）求证：平面PAB⊥平面ABCD；
（3）求直线DP和平面PAC所成角的正弦值．
已知数列{an}及fn（x）=a1x+a2x2+…anxn，fn（-1）=（-1）nn，n∈N+．
（1）求a1，a2，a3的值，并求数列{an}的通项公式；
（2）若（
1
2
）n•an≤
1
4
m2+
3
2
m-1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围；
（3）求证：fn（
1
3
）＜1．
已知函数f（x）=log2（-x2+ax+a），若f（x）＞1对一切x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围
 
．

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