Question

如图所示的平面四边形ABCD中，△ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，△BCD为正三角形，且BD=4，AC与BD交于点O（如图甲）．现沿BD将平面四边形ABCD折成三棱锥A-BCD，使得折起后∠AOC=θ（0＜θ＜π）（如图乙）．
（Ⅰ）证明：不论θ在（0，π）内为何值，均有AC⊥BD；
（Ⅱ）当三棱锥A-BCD的体积为

8 3

3

时，求二面角B-AD-C的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件得在平面图形中，AO⊥BD，CO⊥BD，从而折起后BD⊥平面AOC，进而BD⊥AC，由此能证明不论θ在（0，π）内为何值，均有AC⊥BD．
（Ⅱ）由已知得平面AOC⊥平面BCD，AE是三棱锥A-BCD的高，从而当三棱锥A-BCD的体积为

8 3

3

时，sinθ=1，此时点E与点O重合，由已知条件得∠OFC就是二面角B-AD-C的平面角，由此能求出二面角B-AD-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵△ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，△BCD为正三角形，
∴△ABC≌△ADC，∴AO既是等腰△ABD也是等边△BCD的角平分线，也是高，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，…（2分）
由于在平面图形中，AO⊥BD，CO⊥BD，
折起后这种关系不变，且AO∩CO=O，
∴折起后BD⊥平面AOC，…（4分）
又AC?平面AOC，故BD⊥AC，
即不论θ在（0，π）内为何值，均有AC⊥BD．…（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BD⊥平面AOC，又BD?平面BCD，
∴平面AOC⊥平面BCD，
过点A作AE⊥OC于点E，∵平面AOC∩平面BCD=OC，
∴AE⊥平面BCD，即AE是三棱锥A-BCD的高，
在Rt△AOE中，AE=AOsinθ=2sinθ，S△BCD=

1

2

×4×4×

3

2

=4

3

，
故三棱锥A-BCD的体积为V=

1

3

×4

3

×2sinθ=

8 3

3

sinθ，
当三棱锥A-BCD的体积为

8 3

3

时，sinθ=1，此时点E与点O重合．…（9分）
CO⊥平面ABD，过O点作OF⊥AD于点F，连接CF，
∵AD?平面ABD，∴AD⊥OC，又OF∩OC=O，
∴AD⊥平面OFC，∴AD⊥CF，则∠OFC就是二面角B-AD-C的平面角．…（11分）
在Rt△OFC中，OF=

2

，OC=2

3

，∴CF=

14

，
∴cos∠OFC=

OF

CF

=

2

14

=

7

7

，
∴二面角B-AD-C的余弦值为

7

7

．…（13分）

点评：本小题主要考查直线与直线、平面与平面的位置关系、简单几何体的体积、二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想等．