Question

已知平面直角坐标系xOy中，三点（0，

3

），（

1

2

，2

2

），（1，-

3

2

）中有两个点在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，另一点在抛物线y²=2px（p＞0）上．
（1）求椭圆与抛物线的方程；
（2）若直线y=k（x+1）（k≠0）交抛物线于P，Q两点．A，B分别是椭圆左，右顶点，求证：两直线AP，BQ交点在抛物线准线上．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由椭圆和抛物线的性质，得（0，

3

），（1，-

3

2

）两点在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，（

1

2

，2

2

）在抛物线y²=2px（p＞0）上，由此能求出椭圆方程和抛物线方程．
（2）联立

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x+1)

，得（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=-

8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

，直线AP：y=

y1

x1+2

（x+2），直线BQ：y=

y2

x2-2

(x-2)，联立

y= y1 x1+2 (x+2) y= y2 x2-2 (x-2)

，得x=

2(2x1x2+3x2-x1)

3x1+x2+4

，由此能证明两直线AP，BQ交点在抛物线准线上．

解答： （1）解：∵三点（0，

3

），（

1

2

，2

2

），（1，-

3

2

）中，
有两个点在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，另一点在抛物线y²=2px（p＞0）上，
∴（0，

3

），（

1

2

，2

2

）这两个点只能取一个，否则会相互矛盾，原因是2

2

＞

3

，
又（0，

3

）不在抛物线抛物线y²=2px（p＞0）上，
故由椭圆和抛物线的性质，得（0，

3

），（1，-

3

2

）两点在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，
（

1

2

，2

2

）在抛物线y²=2px（p＞0）上，
把（0，

3

），（1，-

3

2

）两点代入椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
得

3 b2 =1 1 a2 + 9 4b2 =1

，解得a=2，b=

3

，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
把（

1

2

，2

2

）代入抛物线y²=2px（p＞0），得：
8=2p×

1

2

，解得p=8，
∴抛物线方程为y²=16x．
（2）证明：联立

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x+1)

，得（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，k≠0，
∵直线y=k（x+1）（k≠0）交抛物线于P，Q两点，
∴△=1-4k×

k

16

＞0，解得-2＜k＜0或0＜k＜2，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=-

8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

，
∵A，B分别是椭圆左，右的顶点，∴A（-2，0），B（2，0），
∴直线AP：y=

y1

x1+2

（x+2），
直线BQ：y=

y2

x2-2

(x-2)，
联立

y= y1 x1+2 (x+2) y= y2 x2-2 (x-2)

，消去y，得x=

2(2x1x2+3x2-x1)

3x1+x2+4

（*）
由x1+x2=-

8k2

4k2+3

=-2+

6

4k2+3

，
x1x2=

4k2-12

4k2+3

=1-

15

4k2+3

，消去k，得2x₁x₂=-8-5（x₁+x₂），
代入（*）式，得x=

2[-8-5(x1+x2)+3x2-x1]

3x1+x2+4

=

2(-6x1-2x2-8)

3x1+x2+4

=-4，
∴两直线AP，BQ交点在抛物线准线上．

点评：本题考查椭圆和抛物线方程的求法，考查两直线的交点在抛物线准线上的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．