Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，过左焦点作x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且|AB|=1．（1）求椭圆E的方程：（2）设P，Q是椭圆E上的两点，P在第一象限，Q在第二象限，且OP⊥OQ，其中O是坐标原点，当P，Q运动时，是否存在定圆O，使得直线PQ都与定圆O相切？若存在，请求出圆O的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,直线与圆的位置关系,椭圆的标准方程

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）运用椭圆的离心率公式和过焦点垂直于x轴的弦长，以及a，b，c的关系，即可解得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．则椭圆的极坐标方程为ρ²（cos²θ+4sin²θ）=4，设P（ρ₁，θ），Q（ρ₂，θ+

π

2

），（0＜θ＜

π

2

），当P，Q运动时，假设存在定圆O，使得直线PQ都与定圆O相切．则设定圆O的半径为r，则在三角形OPQ中，运用面积相等即有

1

2

r|PQ|=

1

2

|OP|•|OQ|，化简整理，即可解得r．

解答： 解：（1）椭圆的离心率为

3

2

，即有

c

a

=

3

2

，
令x=-c，则y=±b

1- c2 a2

=±

b2

a

，即有

2b2

a

=1，
又a²-b²=c²，解得，a=2，b=1．
则椭圆E：

x2

4

+y²=1；
（2）以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
则椭圆的极坐标方程为ρ²（cos²θ+4sin²θ）=4，
设P（ρ₁，θ），Q（ρ₂，θ+

π

2

），（0＜θ＜

π

2

），
当P，Q运动时，假设存在定圆O，使得直线PQ都与定圆O相切．
则设定圆O的半径为r，则在三角形OPQ中，

1

2

r|PQ|=

1

2

|OP|•|OQ|，
即有r

ρ12+ρ22

=ρ₁ρ₂，
即有r²•（

4

cos2θ+4sin2θ

+

4

sin2θ+4cos2θ

）=

4

cos2θ+4sin2θ

•

4

sin2θ+4cos2θ

，
化简得，4r²•5=16，解得，r²=

4

5

．
故当P，Q运动时，存在定圆O：x²+y²=

4

5

，使得直线PQ都与定圆O相切．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查椭圆的极坐标方程及运用，考查化简和运算能力，属于中档题．