Question

9．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中点．
（I）求证：BH∥平面AEF；
（Ⅱ）求EH与平面AFE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）建立如图所示的坐标系，求出平面AEF的法向量，利用$\overrightarrow{BH}$•$\overrightarrow{n}$=0，证明：BH∥平面AEF；
（Ⅱ）利用向量的夹角公式，求EH与平面AFE所成角的正弦值．

解答 （I）证明：建立如图所示的坐标系，则B（0，-1，0），C（$\sqrt{3}$，0，0），F（0，-1，3），A（-$\sqrt{3}$，0，0），E（0，1，3），
∴H（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴$\overrightarrow{BH}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
设平面AEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则
∵$\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{3}$，1，3），$\overrightarrow{EF}$=（0，-2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+y+3z=0}\\{-2y=0}\end{array}\right.$，
∴取$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，0，-1），
∵$\overrightarrow{BH}$•$\overrightarrow{n}$=0
∴BH∥平面AEF；
（Ⅱ）解：$\overrightarrow{EH}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
∴EH与平面AFE所成角的正弦值=|$\frac{\frac{3}{2}+\frac{3}{2}}{\sqrt{3+1}•\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{9}{4}+\frac{9}{4}}}$|=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查空间向量知识的运用，考查线面平行，线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．