Question

13．如图，已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），点A，B分别是左、右顶点，过右焦点F的直线MN（异于x轴）交于椭圆C于M、N两点．
（1）若椭圆C过点$（{2，\frac{{4\sqrt{3}}}{3}}）$，且右准线方程为x=6，求椭圆C的方程；
（2）若直线BN的斜率是直线AM斜率的2倍，求椭圆C的离心率．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆C过点$（2，\frac{{4\sqrt{3}}}{3}）$，右准线方程为x=6，a²=b²+c²，列出方程组求解即可．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则A（-a，0），B（a，0），F（c，0）；求出MA，MB的斜率乘积，
设直线MN：x=my+c，与椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，通过韦达定理推出${k_{BM}}•{k_{BN}}=-\frac{b^4}{{{a^2}{{（a-c）}^2}}}$，结合2k_MA=k_BN；即可求解椭圆C的离心率．

解答 （本小题满分16分）
解：（1）因为椭圆C过点$（2，\frac{{4\sqrt{3}}}{3}）$，所以$\frac{4}{a^2}+\frac{16}{{3{b^2}}}=1$，
又已知右准线方程为x=6，所以$\frac{a^2}{c}=6$，a²=b²+c²，
可解得a²=12，b²=8；或a²=28，${b^2}=\frac{56}{9}$；
所以椭圆C的方程为$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{8}=1$或$\frac{x^2}{28}+\frac{{9{y^2}}}{56}=1$．（6分）
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则A（-a，0），B（a，0），F（c，0）；
因为点M在椭圆C上，所以$y_1^2={b^2}（1-\frac{x_1^2}{a^2}）=-\frac{b^2}{a^2}（x_1^2-{a^2}）$，
所以${k_{MA}}•{k_{MB}}=\frac{y_1}{{{x_1}+a}}•\frac{y_1}{{{x_1}-a}}=\frac{y_1^2}{{x_1^2-{a^2}}}=-\frac{b^2}{a^2}$，
设直线MN：x=my+c，与椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$联立方程组消去x得（a²+m²b²）y²+2cmb²y-b⁴=0，${k_{BM}}•{k_{BN}}=\frac{y_1}{{{x_1}-a}}•\frac{y_2}{{{x_2}-a}}=\frac{y_1}{{m{y_1}+c-a}}•\frac{y_2}{{m{y_2}+c-a}}$=$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{m^2}{y_1}{y_2}+m（c-a）（{y_1}+{y_2}）+{{（c-a）}^2}}}$，
将${y_1}{y_2}=-\frac{b^4}{{{a^2}+{m^2}{b^2}}}$，${y_1}+{y_2}=-\frac{{2cm{b^2}}}{{{a^2}+{m^2}{b^2}}}$代入上式化简得${k_{BM}}•{k_{BN}}=-\frac{b^4}{{{a^2}{{（a-c）}^2}}}$，又2k_MA=k_BN；所以$-\frac{{2{b^2}}}{a^2}=-\frac{b^4}{{{a^2}{{（a-c）}^2}}}$，
得a²-4ac+3c²=0，即3e²-4e+1=0，解得$e=\frac{1}{3}$或e=1，
又0＜e＜1，所以$e=\frac{1}{3}$，即椭圆C的离心率为$\frac{1}{3}$．（16分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．