题目内容
已知函数f(x)=2
sinxcosx-3sin2x-cos2x+2．
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
=
，
=2+2cos(A+C)，求f（B）的值．
| 3 |
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
| b |
| a |
| 3 |
| sin(2A+C) |
| sinA |
考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理,余弦定理
专题：计算题,三角函数的求值,解三角形
分析：（Ⅰ）利用三角函数中的恒等变换应用可求得f（x）=2sin（2x+
），从而可求f（x）的最大值；
（Ⅱ）依题意，利用两角和的正弦可求得sinC=2sinA，再由正弦定理得：c=2a，又b=
a，利用余弦定理可求得角A、B、C的值，从而可得f（B）的值．
| π |
| 6 |
（Ⅱ）依题意，利用两角和的正弦可求得sinC=2sinA，再由正弦定理得：c=2a，又b=
| 3 |
解答：
解：（Ⅰ）解：∵f（x）=
sin2x-3sin2x-cos2x+2（sin2x+cos2x）
=
sin2x+cos2x-sin2x
=
sin2x+cos2x
=2sin（2x+
），
∴f（x）的最大值是2；
（Ⅱ）由条件得sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
即sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
化简得sinC=2sinA，由正弦定理得：c=2a，
又b=
a，
由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA
=3a2+4a2-4
a2cosA，
整理得：cosA=
，A∈（0，π），
∴A=
，B=
，C=
，
∴f（B）=f（
）=2sin
=1．
| 3 |
=
| 3 |
=
| 3 |
=2sin（2x+
| π |
| 6 |
∴f（x）的最大值是2；
（Ⅱ）由条件得sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
即sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
化简得sinC=2sinA，由正弦定理得：c=2a，
又b=
| 3 |
由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA
=3a2+4a2-4
| 3 |
整理得：cosA=
| ||
| 2 |
∴A=
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
∴f（B）=f（
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦定理与余弦定理的综合应用，突出考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
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