Question

首项为正数的数列{a_n}满足a_n+1=

1

4

(

a

2 n

+3)，若数列{a_n}是递增数列，则a₁的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得a_n+1-a_n=

1

4

（a_n-1）（a_n-3），从而a_n+1＞a_n当且仅当a_n＜1或a_n＞3．若0＜a_k＜1，则0＜a_k+1＜

1+3

4

=1，若a_k＞3，则a_k+1＞3．由此能求出对一切n∈N₊都有a_n+1＞a_n的充要条件是0＜a₁＜1或a₁＞3．

解答： 解：∵a_n+1=

1

4

(

a

2 n

+3)，
∴a_n+1-a_n=

1

4

（a_n-1）（a_n-3），
∴a_n+1＞a_n当且仅当a_n＜1或a_n＞3．
另一方面，若0＜a_k＜1，则0＜a_k+1＜

1+3

4

=1，
若a_k＞3，则a_k+1＞

32+3

4

=3．
根据数学归纳法得，0＜a₁＜1，∴0＜a_n＜1，?n∈N₊．
由a₁＞3，得a_n＞3，?n∈N₊．
综上所述，对一切n∈N₊都有a_n+1＞a_n的充要条件是0＜a₁＜1或a₁＞3．
∴a₁的取值范围是（0，1）∪（3，+∞）．
故答案为：（0，1）∪（3，+∞）．

点评：本题考查数列的首项的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数列的性质的合理运用．