Question

11．已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，过抛物线上一点P作抛物线C的切线l交x轴于点D，交y轴于点Q，当|FD|=2时，∠PFD=60°．
（1）判断△PFQ的形状，并求抛物线C的方程；
（2）已知点M（2，2），若抛物线上异于点P的不同两点A，B满足$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{BM}$=0，且经过A，B，P三点的圆和抛物线在点P处有相同的切线，求P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）设P（x₁，y₁），求出切线l的方程，求解三角形的顶点坐标，排除边长关系，然后判断三角形的形状，然后求解抛物线方程；
（2）求出A，B的坐标分别为（0，0），（4，4），设P（x₀，y₀）（x₀≠0，x₀≠4），求出AB的中垂线方程，AP的中垂线方程，解得圆心坐标，由${k}_{NP}•\frac{{x}_{0}}{2}=-1$，求解P点坐标即可．

解答 解：（1）设P（x₁，y₁），
则切线l的方程为y=$\frac{{x}_{1}}{p}x-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2p}$，且${y}_{1}=\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2p}$，
∴D（$\frac{{x}_{1}}{2}，0$），Q（0，-y₁），|FQ|=$\frac{p}{2}+{y}_{1}$，|PF|=$\frac{p}{2}+{y}_{1}$，∴|FQ|=|FP|，
∴△PFQ为等腰三角形，且D为PQ的中点，
∴DF⊥PQ，
∵|DF|=2，∠PFD=60°，∴∠QFD=60°，
∴$\frac{p}{2}=1$，得p=2，
则抛物线方程为x²=4y；
（2）由已知，得A，B的坐标分别为（0，0），（4，4），
设P（x₀，y₀）（x₀≠0，x₀≠4），
AB的中垂线方程为y=-x+4，①
AP的中垂线方程为y=-$\frac{4}{{x}_{0}}$x+2+$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}$，②
联立①②，解得圆心坐标为：N（-$\frac{{{x}_{0}}^{2}+4{x}_{0}}{8}$，$\frac{{{x}_{0}}^{2}+4{x}_{0}+32}{8}$），
k_NP=$\frac{\frac{{{x}_{0}}^{2}+4{x}_{0}+32}{8}-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}}{-\frac{{{x}_{0}}^{2}+4{x}_{0}}{8}-{x}_{0}}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}-32}{{{x}_{0}}^{2}+12{x}_{0}}$，
由${k}_{NP}•\frac{{x}_{0}}{2}=-1$，得${{x}_{0}}^{3}-2{{x}_{0}}^{2}-8{x}_{0}=0$，
∵x₀≠0，x₀≠4，∴x₀=-2，
∴P点坐标为（-2，1）．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，直线与圆的位置关系，考查转化思想以及计算能力，是中档题．