Question

已知函数f（x）=x²+2sinθ•x-1（θ为常数），x∈[-

3

2

，

1

2

]．
（1）若f（x）在x∈[-

3

2

，

1

2

]上是单调增函数，求θ的取值范围；
（2）当θ∈[0，

π

2

]时，求f（x）的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,三角函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数与函数的单调性的关系，即可求得结论；
（2）利用导数判断函数的单调性，进而求得最小值．

解答： 解：（1）f′（x）=2x+2sinθ，
∵f（x）在x∈[-

3

2

，

1

2

]上是单调增函数，
∴f′（x）≥0在x∈[-

3

2

，

1

2

]上恒成立，则有
sinθ≥-x在x∈[-

3

2

，

1

2

]上恒成立，
又∵（-x）_max=

3

2

，
∴sinθ≥

3

2

，
∴θ∈[

π

3

+2kπ，

2π

3

+2kπ]，k∈Z；
（2）∵f′（x）=2x+2sinθ=2（x+sinθ），
∴f″（x）=2＞0，
∴f′（x）在x∈[-

3

2

，

1

2

]上是增函数，
∴当x=-

3

2

时，f′（x）_min=-

3

+2sinθ，
当x=

1

2

时，f′（x）_max=1+2sinθ，
∴θ∈[

π

3

，

π

2

]时，f′（x）≥0，
此时f（x）_min=f（-

3

2

）=-

3

sinθ-

1

4

，
当θ∈[0，

π

3

]时，f′（x）≤0，
∴f(x)min=

- 3 sinθ- 1 4 ，θ∈[ π 3 ， π 2 ] -sin2θ-1，θ∈[0， π 3 )

．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值问题，考查学生的运算能力及等价转化能力，属难题．