Question

已知动点P与双曲线的两个焦点F₁，F₂的距离之和为定值，
且cos∠F₁PF₂的最小值为－.
（1）求动点P的轨迹方程；（6分）
（2）是否存在直线l与P点轨迹交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线
平分？若存在，求出直线l的斜率k的取值范围，若不存在说明理由.

Answer 1

解: (1)∵，
∴c＝.设|PF₁|＋|PF₂|＝2a(常数＞0)，------2分
2＞2c＝2，∴＞
由余弦定理有cos∠F₁PF₂＝
＝＝－1
∵|PF₁||PF₂|≤()²＝²，
∴当且仅当|PF₁|＝|PF₂|时，|PF₁||PF₂|取得最大值a².
此时cos∠F₁PF₂取得最小值-1，----------4分
由题意－1＝－，解得a²＝4，
∴P点的轨迹方程为------------6分
（2）由（1）知p点轨迹为椭圆，显然直线l的斜率k存在，
设l的直线方程为   ------------7分
由
设l与椭圆交于不同两点
为方程①的两个不同根

解得： ②------------9分
又 且MN被直线x=－1平分

代入②解不等式 ，解得
∴存在直线l满足条件，l的斜率k的范围是
------------12分

略