Question

四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=AB=

1

2

AD，∠BAD=60°，E，F分别为AD，PC的中点．
（1）求证：EF⊥平面PBD；
（2）若AB=2，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取PB的中点G，连接FG，AG，不难证明四边形EFGA是平行四边形，则EF∥AG，又△PAB是等边三角形，有AG⊥PB①；另外，可以通过计算得到BD⊥AB，结合着平面PAB⊥平面ABCD，得到DB⊥平面PAB，从而DB⊥AG②．由①②知，AG⊥平面PBD，于是EF⊥平面PBD．
（2）由平面PAB⊥平面ABCD，知四棱锥P-ABCD的高为正三角形PAB的高，再分别计算代入体积公式即可．

解答： 证明：（1）取PB的中点G，连接FG，AG，由题设，FG∥BC，FG=

1

2

BC，
∵AE∥BC，AE=

1

2

BC，∴EF∥AG．
△PAB是等边三角形，AG⊥PB，①
△ABD中，AD=2AB，∠BAD=60°，由余弦定理，
BD²=AB²+AD²-2AB×AD×cos60°=AD²-AB²．
∴∠BAD=90°．
∴BD⊥AB．
又因为平面PAB⊥平面ABCD，BD⊥AB，
∴DB⊥平面PAB，
∴DB⊥AG．②
由①②可知，AG⊥PB，AG⊥BD
∴AG⊥平面PBD．
∴EF⊥平面PBD．
（2）∵AB=2，∴PA=PB=

1

2

AD=2．
又ABCD是平行四边形，且∠BAD=60°，
故S_ABCD=2×4sin60°=4

3

，
又平面PAB⊥平面ABCD，
故四棱锥P-ABCD的高为正三角形PAB的高，即h=

3

．
∴四棱锥P-ABCD的体积为

1

3

×4

3

×

3

=4．

点评：本题考查平面图形与空间图形的转化，考查线面垂直的判断，面面垂直的性质及空间几何体的体积计算等问题，考查学生的空间想象能力、推理能力和运算能力，难度适中．