Question

已知函数f（x）=a-

1

2x+1

．
（Ⅰ）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；
（Ⅱ）确定a的值，使f（x）为奇函数，并说明理由；
（Ⅲ）当f（x）为奇函数时，若

1

1 2 -f(x)

＜4^x+a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）直接利用函数单调性的定义加以证明；
（Ⅱ）由函数是定义域为R上的奇函数，借助于f（0）=0求得a的值，然后利用奇函数的定义验证；
（Ⅲ）由函数是奇函数得到f（x）的解析式，代入

1

1 2 -f(x)

＜4^x+a后分离参数a，然后利用换元法及配方法求出函数的最值，则答案可求．

解答： （Ⅰ）证明：函数f（x）=a-

1

2x+1

的定义域为R，
任设x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=a-

1

2x1+1

-a+

1

2x2+1

=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

．
∵x₁＜x₂，
∴2x1-2x20，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
即不论a为何实数f（x）总是为增函数；
（Ⅱ）解：∵f（x）为定义在实数集上的奇函数，
∴对于任意实数x都有f（-x）=-f（x），
令x=0，则f（0）=f（-0）=-f（0），f（0）=0．
∴a-

1

2

=0，即a=

1

2

．
则f（x）=

1

2

-

1

2x+1

．
∵f(x)+f(-x)=

1

2

-

1

2x+1

+

1

2

-

1

2-x+1

=1-

2x+2-x+2

2x+2-x+2

=0．
∴f（-x）=-f（x）．
即当a=

1

2

时，函数f（x）为奇函数；
（Ⅲ）解：当f（x）为奇函数时，f（x）=

1

2

-

1

2x+1

，
由

1

1 2 -f(x)

＜4x+a，得2^x+1＜4^x+a．
即a＞-4^x+2^x+1恒成立．
令t=2^x，则t＞0，
-4x+2x+1=-t2+t+1=-(t-

1

2

)2+

5

4

≤

5

4

．
当且仅当t=

1

2

时取等号．
∴a＞

5

4

．

点评：本题考查了函数的性质，考查了函数的单调性和奇偶性的证明方法，训练了利用分离参数法求变量的取值范围，考查了配方法，是压轴题．