Question

8．无锡市政府决定规划地铁三号线：该线起於惠山区惠山城铁站，止於无锡新区硕放空港产业园内的无锡机场站，全长28公里，目前惠山城铁站和无锡机场站两个站点已经建好，余下的工程是在已经建好的站点之间铺设轨道和等距离修建停靠站．经有关部门预算，修建一个停靠站的费用为6400万元，铺设距离为x公里的相邻两个停靠站之间的轨道费用为400x³+20x万元．设余下工程的总费用为f（x）万元．（停靠站位于轨道两侧，不影响轨道总长度）
（1）试将f（x）表示成x的函数；
（2）需要建多少个停靠站才能使工程费用最小，并求最小值．

Answer 1

分析 （1）先设需要修建k个停靠站，列出余下工程的总费用的函数表达式，再结合自变量x的实际意义：x表示相邻两停靠站之间的距离，确定出函数的定义域即可．
（2）依据（1）中得出的函数表达式，结合基本不等式即可求得函数y的最大值，最后回到原实际问题进行解答即可．

解答 解：（1）设需要修建k个停靠站，则k个停靠站将28公里的轨道分成相等的k+1段
∴$（k+1）x=28⇒k=\frac{28}{x}-1$…（3分）
∴$f（x）=6400k+（k+1）（400{x^3}+20x）=6400（\frac{28}{x}-1）+\frac{28}{x}（400{x^3}+20x）$
化简得$f（x）=28×400{x^2}+\frac{28×6400}{x}-5840$…（7分）
（2）$f（x）≥28×400{x^2}+\frac{28×3200}{x}+\frac{28×3200}{x}-63722$$≥3\root{3}{{28×400{x^2}•\frac{28×3200}{x}•\frac{28×3200}{x}}}-6372=128028$（万元）…（11分）
当且仅当$28×400{x^2}=\frac{28×3200}{x}$即x=2，$k=\frac{28}{x}-1=13$取“=”…（13分）
答：需要建13个停靠站才能使工程费用最小，最小值费用为128028万元…（14分）

点评 本题考查解函数在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．