Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，AD=2，PD=2

5

，AB=PB=4，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）E是侧棱PC上一点，记

PE

PC

=λ，当PB⊥平面ADE时，求实数λ的值．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）证明AD⊥BD，利用平面PBD⊥平面ABCD，交线为BD，可得AD⊥平面PBD，从而AD⊥PB；
（Ⅱ）作EF∥BC，交PB于点F，连接AF，连接DF，△PBD中，由余弦定理求得cos∠BPD=

3

2 5

，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）证明：在△ABD中，∵AD=2，AB=4，∠BAD=60°，
∴由余弦定理求得BD=2

3

．
∴AD²+BD²=AB²，∴AD⊥BD．
∵平面PBD⊥平面ABCD，交线为BD，
∴AD⊥平面PBD，
∴AD⊥PB．…6分
（Ⅱ）解：作EF∥BC，交PB于点F，连接AF，
由EF∥BC∥AD可知A，D，E，F四点共面，
连接DF，所以由（Ⅰ）的结论可知，PB⊥平面ADE当且仅当PB⊥DF．
在△PBD中，由PB=4，BD=2

3

，PD=2

5

，
余弦定理求得cos∠BPD=

3

2 5

，
∴在RT△PDF中，PF=PDcos∠BPD=3，
因此λ=

PE

PC

=

PF

PB

=

3

4

．…12分．

点评：本题考查立体几何有关知识，考查线面、面面垂直，考查运算能力，属于中档题．