Question

已知函数f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x+b（a，b∈R）．
（1）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为-3，求a，b的值；
（2）若曲线y=f（x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：求出原函数的导函数．
（1）由函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为-3得到方程组

f(0)=b=0 f′(0)=-a(a+2)=-3

，解方程组求得a，b的值；
（2）把曲线y=f（x）存在两条垂直于y轴的切线转化为函数f（x）有两个极值点，进一步转化为关于x的方程f′（x）=3x²+2（1-a）x-a（a+2）=0有两个不相等的实数根，然后尤其判别式大于0求得a的范围．

解答： 解：由f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x+b（a，b∈R），得
f′（x）=3x²+2（1-a）x-a（a+2）．
（1）由题意得

f(0)=b=0 f′(0)=-a(a+2)=-3

，
解得：b=0，a=-3或1；
（2）∵曲线y=f（x）存在两条垂直于y轴的切线，
∴关于x的方程f′（x）=3x²+2（1-a）x-a（a+2）=0有两个不相等的实数根，
∴△=4（1-a）²+12a（a+2）＞0，即4a²+4a+1＞0，
∴a≠-

1

2

．
∴a的取值范围是（-∞，-

1

2

）∪（-

1

2

，+∞）．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，着重考查了数学转化思想方法，是中档题．