Question

已知函数f（x）=e^x（ax+b）+x²+2x，曲线y=f（x）经过点P（0，1），且在点P处的切线为l：y=4x+1．
（I）求a，b的值；
（Ⅱ）若存在实数k，使得x∈[-2，-1]时f（x）≥x²+2（k+1）x+k恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（I）求出函数的导数，利用切线的斜率，以及函数值得到

f′(0)=4 f(0)=1

，即可求a，b的值；
（Ⅱ）x∈[-2，-1]，f（x）≥x²+2（k+1）x+k恒成立，推出k的表达式，构造函数求解函数的导数，利用新函数的单调性求出区间上的最值，即可求k的取值范围．

解答： 解：（ I）f'（x）=e^x（ax+a+b）+2x+2…（2分）
依题意，

f′(0)=4 f(0)=1

，即

a+b+2=4 b=1

，解得

a=1 b=1

．…（4分）
（ II）由f（x）≥x²+2（k+1）x+k得：e^x（x+1）≥k（2x+1）．
∵x∈[-2，-1]时，2x+1＜0，
∴f（x）≥x²+2（k+1）x+k即e^x（x+1）≥k（2x+1）恒成立，
当且仅当k≥

ex(x+1)

2x+1

…（6分）
设g(x)=

ex(x+1)

2x+1

，x∈[-2，-1]，g′(x)=

ex(2x2+3x)

(2x+1)2

由g'（x）=0得x=0(舍去)，x=-

3

2

…（8分）
当x∈(-2，-

3

2

)时，g′(x)＞0；
当x∈(-

3

2

，-1)时，g′(x)＜0∴g(x)=

ex(x+1)

2x+1

在区间[-2，-1]上的最大值为：g(-

3

2

)=

1

4

e-

3

2

…（10分）
所以常数k的取值范围为[

1

4

e-

3

2

，+∞)…（12分）

点评：本题考查函数的导数的综合应用，切线方程，闭区间是函数的最值的求法，构造法的应用，难度比较大，是高考常考题型．