Question

2．某同学在利用“五点法”作函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）+t（其中A＞0，$ω＞0，|ϕ|＜\frac{π}{2}$）的图象时，列出了如表格中的部分数据．

x	$-\frac{π}{4}$	$\frac{π}{12}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{3π}{4}$	$\frac{13π}{12}$
ωx+ϕ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
f（x）	2	6	2	-2	2

（1）请将表格补充完整，并写出f（x）的解析式．
（2）若$x∈[-\frac{5π}{12}，\frac{π}{4}]$，求f（x）的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）由表中数据列关于ω、φ的二元一次方程组，求得A、ω、φ的值，从而可求函数解析式．
（2）由$x∈[-\frac{5π}{12}，\frac{π}{4}]$，可求$-\frac{π}{4}≤\frac{3}{2}x+\frac{3π}{8}≤\frac{3π}{4}$，利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：（1）将表格补充完整如下：

x	$-\frac{π}{4}$	$\frac{π}{12}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{3π}{4}$	$\frac{13π}{12}$
ωx+ϕ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
f（x）	2	6	2	-2	2

f（x）的解析式为：$f（x）=4sin（\frac{3}{2}x+\frac{3π}{8}）+2$．…（6分）
（2）∵$x∈[-\frac{5π}{12}，\frac{π}{4}]$，
∴$-\frac{π}{4}≤\frac{3}{2}x+\frac{3π}{8}≤\frac{3π}{4}$，…（8分）
∴$\frac{3}{2}x+\frac{3π}{8}=-\frac{π}{4}$时，即$x=-\frac{5π}{12}$时，f（x）最小值为$-2\sqrt{2}+2$，
∴$\frac{3}{2}x+\frac{3π}{8}=\frac{π}{2}$时，即$x=\frac{π}{12}$时，f（x）最大值为6…（12分）

点评 本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解函数解析式，考查了正弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．