题目内容
19．设f（x）是定义在实数集R上的奇函数，当x＞0时，$f（x）=\frac{k}{x+1}，k∈R，k≠0$．．（1）当k=1时，求f（x）的解析式；
（2）已知0＜x＜1时，f（x）＞1恒成立，求实数k的取值范围．
分析 （1）把k=1代入函数解析式，由x＜0，可得-x＞0，然后利用函数奇偶性及x＞0时的解析式得答案；
（2）由f（x）＞1恒成立，可得$\frac{k}{x+1}＞1$在（0，1）上恒成立，转化为k＞x+1在（0，1）上恒成立，求出x+1的范围得答案．
解答 解：（1）由f（x）是定义在实数集R上的奇函数，当x＞0时，$f（x）=\frac{1}{x+1}$．
当x＜0时，-x＞0，则f（x）=-f（-x）=-[$\frac{1}{-x+1}$]=$\frac{1}{x-1}$；
当x=0时，f（0）=0．
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x-1}，x＜0}\\{0，x=0}\\{\frac{1}{x+1}，x＞0}\end{array}\right.$；
（2）由$\frac{k}{x+1}＞1$在（0，1）上恒成立，
∵x+1＞0，∴k＞x+1在（0，1）上恒成立，
∵x+1∈（1，2），
∴k≥2．
即k的取值范围为[2，+∞）．
点评 本题考查恒成立问题，考查函数解析式的求解及常用方法，是中档题．
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| A． | 充分不必要 | B． | 必要不充分 | ||
| C． | 充要 | D． | 既不充分也不必要 |
已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其右焦点为F（1，0）．
8．下表是某校高三一次月考5个班级的数学、物理的平均成绩：
（Ⅰ）一般来说，学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变量x，y的线性回归方程$\hat y=\hat bx+\hat a$；
（Ⅱ）从以上5个班级中任选两个参加某项活动，设选出的两个班级中数学平均分在115分以上的个数为X，求X的分布列和数学期望．
附：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$．
| 班级 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 数学（x分） | 111 | 113 | 119 | 125 | 127 |
| 物理（y分） | 92 | 93 | 96 | 99 | 100 |
（Ⅱ）从以上5个班级中任选两个参加某项活动，设选出的两个班级中数学平均分在115分以上的个数为X，求X的分布列和数学期望．
附：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$．