Question

12．经过椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦点F作直线l，交椭圆E于A，B两点．如果F恰好是线段AB的三等分点，求直线l的方程．

Answer 1

分析 由题意方程求出F坐标，设出直线方程与A，B的坐标，联立后化为关于y的一元二次方程，由F恰好是线段AB的三等分点可得方程两根的关系，列式求解得答案．

解答 解：如图，
由椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，得c²=a²-b²=4-3=1，
∴F（1，0）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
不妨设F靠近A，则由F恰好是线段AB的三等分点，得$\frac{|BF|}{|FA|}=2$，
∴y₂=-2y₁，
设AB所在直线方程为x=ty+1．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3t²+4）y²+6ty-9=0．
解得${y}_{1}=\frac{-3t+6\sqrt{{t}^{2}+1}}{3{t}^{2}+4}$，${y}_{2}=\frac{-3t-6\sqrt{{t}^{2}+1}}{3{t}^{2}+4}$，
由y₂=-2y₁，得$2\sqrt{{t}^{2}+1}=3t$，解得t=$±\frac{2\sqrt{5}}{5}$，此时取t=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
得直线l的方程为$x=\frac{2\sqrt{5}}{5}y+1$，即$\sqrt{5}x-2y-\sqrt{5}=0$．
由对称性可知，另一直线方程为$\sqrt{5}x+2y-\sqrt{5}=0$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．