题目内容
15．学校为了了解高三学生每天回归教材自主学习的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天回归教材自主学习的时间超过5小时的学生非常有可能在高考中缔造神奇，我们将他（她）称为“考神”，否则为“非考神”，调查结果如表：| 考神 | 非考神 | 合计 | |
| 男生 | 26 | 24 | 50 |
| 女生 | 30 | 20 | 50 |
| 合计 | 56 | 44 | 100 |
（Ⅱ）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“考神”和“非考神”的人数；
（Ⅲ）现从（Ⅱ）中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“考神”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．
参考公式：K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．
参考数据：
| P（K2≥k0） | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| k0 | 0.455 | 0.708 | 1.321 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
分析 （Ⅰ）由列联表求解k2，即可判断没有60%的把握认为“考神”与性别有关．
（Ⅱ）按分层抽样的方法抽出5人，求解抽取的5人中“考神”和“非考神”的人数．
（Ⅲ）ξ为所抽取的3人中“考神”的人数，得到ξ的所有取值为1，2，3．求出概率，得到随机变量ξ的分布列，然后求解期望即可．
解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由列联表得${K^2}=\frac{{100{{（26×20-30×34）}^2}}}{56×44×50×50}≈0.6494＜0.708$
∴没有60%的把握认为“考神”与性别有关． …（4分）
（Ⅱ）调查的50名女生中“考神”有30人，“非考神”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，则“考神”的人数为$5×\frac{30}{50}=3$人，“非考神”有$5×\frac{20}{50}=2$人．
即抽取的5人中“考神”和“非考神”的人数分别为3人和2人 …（8分）
（Ⅲ）∵ξ为所抽取的3人中“考神”的人数，
∴ξ的所有取值为1，2，3.$P（ξ=1）=\frac{C_3^1C_2^2}{C_5^3}=\frac{3}{10}$，$P（ξ=2）=\frac{C_3^2C_2^1}{C_5^3}=\frac{3}{5}$，$P（ξ=3）=\frac{C_3^3}{C_5^3}=\frac{1}{10}$． …（10分）
∴随机变量ξ的分布列为
| ξ | 1 | 2 | 3 |
| P | $\frac{3}{10}$ | $\frac{3}{5}$ | $\frac{1}{10}$ |
点评 本题考查离散性随机变量的期望以及分布列的求法，独立检验思想以及分层抽样的应用，考查计算能力．
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10．
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